İkinci derece türevli denklemler
Salınım yapan yayın ikinci derece denklemle çözümü
Yay salınımı
Bir tane yayın ucuna bağlı, kütlesi m olan bir cismimiz olsun.
Bu cisme bir kuvvet uygulayarak aşağı doğru gerdirdiğimizi ve elimizle tuttuğumuzu düşünelim.
Yay da bize bir kuvvet uygulayarak yukarı doğru çekmek isteyecektir. Bu durumda cisim denge konumundan x mesafesi kadar uzaklaştı.
Bunu şu şekilde de düşünebiliriz. Örneğin yayın ucuna 1 kilo bir cisim bağladık. Bağladıktan sonra denge konumuna olan uzaklığını ölçtük. Eğer yayın ucuna 2 kilo ağırlığında bir cisim bağlarsak, yayın denge konumundan ilk duruma göre daha fazla uzaklaştığını görebiliriz.
Demek ki, yay biz bir kuvvet uyguladığımızda o kuvvete ters yönlü ve eşit miktarda bir kuvvet uyguluyor.
F = m. a
Kuvvetin kütle ve ivmenin çarpımına eşit olduğunu biliyoruz. Kuvvet uygulandığında meydana gelen yer değiştirmeye x dersek ve yay sabitini de k ile gösterirsek:
F = m. a = -k.x
diyebiliriz.
Burada a ile gösterilen ivmenin birim zamandaki hız değişimi olduğunu biliyoruz. Genellikle v ile gösterilen hız ise birim zamandaki konumdaki değişmedir.
Konumun birinci dereceden türevini alırsak hızı, bir kere daha türev alırsak ivmeyi buluruz. Kısacası ivme konumun ikinci dereceden türevidir.
Harici kuvvetleri göz ardı edersek şu denklemi elde ediyoruz.
İkinci dereceden denklemi WxMaxima ile çözelim
İkinci dereceden denklemi yazmak için şu komutu giriyoruz.
ode2('diff(x,t,2)=-k/m*x,x,t);
Dikkat ederseniz ikinci derece denklemleri çözerken sadece diff komutunun sonuna 2 ekledik. En sondaki x ve t kullanımı ile, yer değiştirmenin x'in zamana bağlı bir değişken olduğunu gösteriyoruz.
Bu komutu Shift - Enter tuşlarına basıp çalıştırdıktan sonra çıktısına bakalım.
WxMaxima bize bu değerlerin artı mı eksi mi olduğunu soruyor. p; yazıp Shift - Enter tuşlarına birlikte basarak devam edebiliriz.
Burada görebileceğiniz üzere WxMaxima bizim için ikinci dereceden denklemin genel çözümünü buldu.
Tekrar hatırlatmakta fayda görüyorum. Burada % işareti sabit sayı anlamına geliyor. k1 ve k2 değerlerini henüz bilmiyoruz. Birinci derece türevli denklemlerdeki örnekten hatırlayabileceğiniz üzere bir türevli denklemin birden fazla çözümü olabiliyordu.
Burada açısal frekansı aşağıdaki gibi gösterirsek,
denklemimizin son hali aşağıdaki gibi olacak. Burada sadece k yay sabiti ile karışmasın diye k1 ve k2 sabit sayılarını c1 ve c2 ile değiştirdim.
Sistemin genliği de şu şekilde hesaplanıyor. Genlik de bildiğiniz üzere konumun alabileceği azami değeri gösteriyor.
Örnek bir soru
Bir tane yayın üzerinde 2 kilo ağırlık asılı ve yayın doğal boyu 0.5 metredir. Yayı 0.7 metreye kadar gerdirebilmek için 25.6 Newton'luk bir kuvvet uygulanması gerekiyor. Yayı 0.7 metreye kadar gerdirdikten sonra yay ilk hızı 0 iken bırakılıyor.
Yayın ucunda asılı olan kütlenin zamana bağlı yerdeğişimini bulalım.
Burada Hooke kanunu olarak adlandırılan denklemden,
F = k.x olduğunu biliyoruz. 25.6 = 0.2 *k dersek, buradan yay sabitini 128 olarak buluruz.
Burada x(0)'ın 0.2 olduğunu biliyoruz. Çünkü yay doğal denge noktasından 0.2 metre uzaklaşmış. Diğer taraftan ilk hızın da sıfır olduğunu biliyoruz. v(0) = 0
Kütlenin de 2 kilo olduğunu biliyoruz.
Hatırlayacağınız üzere konumun birinci türevi hızı, ikinci türevi ivmeyi veriyordu.
Şimdi bu bilgilerle WxMaxima'ya ikinci derece türevli denklemi çözdürelim. Bu komutları girdikten sonra Shift-Enter tuşlarına birlikte basıyoruz.
k:128;
m:2;
ode2('diff(x,t,2)=-k/m*x,x,t);
ic2(%, t=0,x=1/5,'diff(x,t)=0);
Burada tekrar hatırlatmak istiyorum. ic ("initial condition") ilk değerin kısaltması olarak kullanılıyor.
t=0 iken konum 0.2 idi. Bunu x = 1/5 ile belirttik. Konumun birinci türevi yani hız da t=0 iken 0 idi. Bunu da 'diff(x,t)=0 ile belirtiyoruz. Özetle burada iki tane ilk koşul belirtmiş olduk.
Sonuca baktığımızda hesaplamanın doğru olduğunu görebiliyoruz.
Değerleri ekrana çizdirmek istersek önceki yazılım parçasına şu bölümü eklemek gerekiyor.
define(konum(t),rhs(%))$
define(hiz(t),diff(konum(t),t));
define(ivme(t),diff(konum(t),t,2));
wxplot2d([konum(t),hiz(t), ivme(t)],[t,0,2], [legend,"konum(t)","hız(t)","ivme(t)"]);
Görebileceğiniz üzere yayın konum, hız ve ivmesinin zamana bağlı değişimini görebiliyoruz.
Yorumlar