Newton soğuma denklemleri
Newton soğuma denklemleri
Giriş
Bir cismin sıcaklığının değişme oranı, nesnenin sıcaklığı ve ortam sıcaklığı ile orantılı olmalıdır.
Bunu matematiksel olarak ifade edebiliriz.
Burada T sıcaklığı, t ise zamanı gösteriyor.
Denklemin sol tarafına sıcaklıktaki değişim olarak bakabiliriz.
Ortam sıcaklığı $T_{a}$ ile gösteriliyor. Denklemin sağ tarafındaki T cismin sıcaklığını, k ise sabit bir sayıyı ifade ediyor.
Bir bardak çayı masanın üzerine koyduğumuzu düşünelim. Bu durumda çayın sıcaklığı, oda sıcaklığından fazla olduğu için $T-T_{a}$ sıfırdan büyük bir değer olacak.
Sıcaklıktaki artış da eksi bir değer olacak. Bir diğer ifadeyle çayın sıcaklığı zamanla azalacak.
Bu sefer bir buz parçası koyduğumuzu düşünelim. Bu durumda buzun sıcaklığı, oda sıcaklığından düşük olduğu için $T-T_{a}$ sıfırdan küçük bir değer olacak.
Eksi değer ile başında eksi olan k sabitini çarptığımızda sonuç artı olacak.
Bu da sıcaklıktaki değişiminin artı olduğunu gösteriyor. Yani buzun sıcaklığı zamanla artacak. Zamanla sıvı hale dönüşecek.
Çay ve buz örneği vermemizin nedeni sabit sayının neden eksi aldığını izah etmek içindi.
Denklemi çözelim
Denklemi çözdüğümüzde mutlak değerli bir ifade ile karşılaşıyoruz.
Burada $e^{c}$ yi de bir sabit olarak kabul ediyoruz.
Çay örneğinde olduğu gibi, cismin sıcaklığı ortamdan sıcaklığından fazla ise genel çözümü bulduk.
Buz örneğinde olduğu gibi, cismin sıcaklığı ortamdan sıcaklığından düşük ise genel çözüm yukarıdaki gibi olacak.
Örnek
Hava sıcaklığının 20 °C olduğu bir yerde, ilk sıcaklığı 80 °C olan bir cisim 2 dakikada 60 °C'ye soğuyor.
Buna göre kaç dakikada 40 °C'ye soğur?
Tek yapmamız gereken çay formülünde verilenleri yerine koymak.
k sabitini bulduktan sonra denklemde yerine yazalım.
En sondaki doğal logaritma ifadesini hesaplamak için matematik yazılımı kullanabilirsiniz.
Deney
Bir tane ekran kartı soğutucusu olarak kullanılan alüminyum blok var. Hava sıcaklığının 23 °C olduğu bir günde ilk sıcaklığı 36 °C olarak ölçülüyor.
180 saniye sonra sıcaklığı 33 °C olduğuna göre ne zaman sıcaklığı 26 °C'ye ulaşır.
Çözümü size bırakıyorum. Hesaplamaları saniye cinsinden yapınız.
Ufak bir deney yaptık. Alüminyum bloğu 36 °C'ye ısıttık.
Kırmızı ölçülen değerleri, mavi ise hesaplanan değerleri gösteriyor.
Hesaplamaları yapmak için kullandığımız Python uygulaması aşağıdaki gibidir :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
adet = 900 # Saniye cinsinden nokta sayısı (15 dakika)
t = np.linspace(0,adet,adet) # Zaman aralığı
# veri
sıcaklıkListesi = []
with open('soğuyan.txt') as kütük:
satırlar = kütük.read().splitlines()
for satır in satırlar:
sıcaklıkListesi.append(float(satır))
k = np.log(10/13) * (1 / 180)
# benzetim
y = 13 * np.exp(k * t) + 23
# Sonuçları yazdır
plt.figure(1)
plt.plot(t,y,'b-',label='Hesaplanan')
plt.plot(t,sıcaklıkListesi,'r.',label='Ölçülen')
plt.ylabel('Sıcaklık (°C)')
plt.xlabel('Zaman (saniye)')
plt.legend()
plt.show()
Uygulamanın kaynak ve veri kütüğünü buradan indirebilirsiniz.
Yorumlar